Résolutions d'équations - Corrigé

Énoncé

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{Z}\) .

1. \(x-4 \equiv 1 \ [3]\)  

2. \(3x \equiv 2 \ [4]\)  

3. \(2x+7 \equiv 10 \ [11]\)  

4.  \(x^2 \equiv 0 \ [4]\)  

Solution

1. On a :  \(\begin{align*}x-4 \equiv 1 \ [3]& \ \ \Longleftrightarrow \ \  x=5 \equiv 2 \ [3]\end{align*}\)  donc \(S= \left\lbrace 3k+2 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

2. On fait un tableau de congruences modulo \(4\) .

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline  x \equiv ... \ [4]& 0& 1& 2& 3\\ \hline  3x \equiv ... \ [4]& 0& 3& 2& 1\\ \hline \end{array}\end{align*}\)  

donc les solutions de l'équation \(3x \equiv 2 \ [4]\) sont données par \(S=\left\lbrace 4k+2 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Variante : en remarquant que \(3 \times 3 \equiv 9 \equiv 1 \ [4]\) , on a :
\(\begin{align*}3x \equiv 2 \ [4]\ \ \Longrightarrow \ \  9x \equiv 6 \ [4]\ \ \Longrightarrow \ \  x \equiv 2 \ [4].\end{align*}\)   
Réciproquement, si \(x \equiv 2 \ [4]\) , alors \(3x \equiv 6 \equiv 2 \ [4]\) .  
Finalement : \(S=\left\lbrace 4k+2 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

3. On a :  \(\begin{align*}2x+7 \equiv 10 \ [11]\ \ \Longleftrightarrow \ \  2x \equiv 3 \ [11].\end{align*}\)  
On fait un tableau de congruences modulo \(11\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline  x \equiv ... \ [11]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline  2x \equiv ... \ [11]& 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9\\ \hline  \end{array}\end{align*}\)   

donc les solutions de l'équation \(2x+7 \equiv 10 \ [11]\) sont données par \(S=\left\lbrace 11k+7 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Variante : en remarquant que \(2 \times 6 \equiv 12 \equiv 1 \ [11]\) , on a : 
\(\begin{align*}2x \equiv 3 \ [11]\ \ \Longrightarrow \ \  12x \equiv 18 \ [11]\ \ \Longrightarrow \ \  x \equiv 7 \ [11].\end{align*}\)  
Réciproquement, si \(x \equiv 7 \ [11]\) , alors \(2x \equiv 14 \equiv 3 \ [11]\) .
Finalement : \(S=\left\lbrace 11k+7 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

4. On fait un tableau de congruences modulo \(4\)  : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline  x \equiv ... \ [4]& 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline  x^2 \equiv ... \ [4]& 0 & 1 & 0 & 1\\ \hline  \end{array}\end{align*}\)   

donc \(S=\left\lbrace 4k \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace \cup \left\lbrace 4k+2 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .